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1现代代数1
第三周笔记

Aise Johan de Jong 教授

11 等价关系

1. 1 第 4 讲：等价关系

定义 1.1. 给定 $\mathcal{R} \subseteq X \times X$，我们记作

$$ x \sim y \Longleftrightarrow(x, y) \in \mathcal{R} $$

如果它满足以下条件，则这是一个等价关系：

(i) $x \sim x$ 对于所有 $x \in X$ (自反性)

(ii) $x \sim y \Rightarrow y \sim x$ (对称性)

(iii) $x \sim y, y \sim z \Rightarrow x \sim z$ (传递性)

定义 1.2. $x$ 的等价类是：

$$ [x]=\{y \in X \mid y \sim x\}=\{y \in X \mid x \in X\} \subseteq \mathcal{P}(X) $$

命题 1.3. 令 $\sim$ 是 $X$ 上的一个等价关系。那么对于 $x, y \in X$，我们有：

$$ [x] \cap[y] \neq \emptyset \Longleftrightarrow[x]=[y] $$

证明. 令 $z \in[x] \cap[y]$。那么 $z \sim x$ 且 $z \sim y$。

要证明 $[x] \subseteq[y]$：选取 $w \in[x]$，那么 $w \sim x$。通过传递性，$w \sim z$ 且 $z \sim y$ 意味着 $w \sim y$，所以 $w \in[y]$。

$x$ 和 $y$ 的角色可以互换以证明 $[y] \subseteq[x]$。因此 $[x]=[y]$。

反向是平凡的。

注 1.4. 其他刻画：

定义 1.5. 对于 $X$ 上的等价关系 $\sim$，我们用 $X / \sim$ 表示所有等价类的集合：

$$ X / \sim=\{[x] \mid x \in X\} \subseteq \mathcal{P}(X) $$

这称为等价关系的商集。

有一个自然映射 $\pi: X \rightarrow X / \sim$，定义为 $\pi(x)=[x]$，它将每个元素映射到其等价类。

注 1.6. $\pi$ 的纤维（元素的逆像）恰好是等价类。

1. 2 $X / \sim$ 的例子

例子 1.7 (1). 如果 $\sim$ 等于 $=$，那么 $X / \sim=\{\{x\} \mid x \in X\}$。

$\pi: X \rightarrow X / \sim$ 是一个双射。

虽然（严格来说）$X$ 和 $X / \sim$ 是不同的集合，但我们经常将它们识别。

例子 1.8 (2). 如果 $\sim$ 对应于 $\emptyset, \mathcal{R}=X \times X$，即对于所有 $x, y \in X$，有 $x \sim y$，那么

$$ X / \sim=\{X\} $$

例子 1.9 (3). 对于自然数 $n \in \mathbb{N}$，对于 $\mathbb{Z}$ 上的等价关系 $\equiv(\bmod n)$，我们记作 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\mathbb{Z} / \sim$。

上次我们看到：

$$ \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\{[0],[1], \ldots,[n-1]\} $$

例子 1.10 (4). 如果 $X=\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z} \backslash\{0\})$ 且 $C_{a, b} \sim C_{c, d}$，如果 $ad=bc$，那么我们记作

$$ \mathbb{Q}=X / \sim \leftarrow^{\pi} X $$

记法 1.11. 对于 $(a, b) \in X$，我们记作

$$ a / b=\pi((a, b))=[(a, b)] $$

$\mathbb{Q}$ 的一个元素称为有理数。

$$ \frac{5}{10}=\frac{1}{2} \Rightarrow[5,10]=[1,2] $$

我们现在知道有理数是什么，但我们可能希望通过定义运算来施加一些额外的结构。

1. 3 商集上的运算定义

假设 $X, Y$ 是集合。$\sim$ 是 $X$ 上的等价关系。

目标：某个函数 $f: X / \sim \rightarrow Y$

步骤：从一个函数 $F: X \rightarrow Y$ 开始，并尝试定义 $f([x])=F(x)$。

这可能不起作用，因为如果 $x \sim y$，那么需要检查 $F(x)=F(y)$。

如果是这样，对于所有 $x \sim y$，那么这个规则有效。

在这种情况下：$F:$ 域

例子 1.12. 假设我们要定义一个函数 $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \rightarrow\{ \pm 1\}$。那么我们可以取 $F: \mathbb{Z} \rightarrow\{ \pm 1\}, F(n)=(-1)^{n}$。

为了得到 $f$，我需要检查：

$$ \begin{gathered} n \equiv m \quad(\bmod 2) \Rightarrow(-1)^{n}=(-1)^{m} \\ n \equiv m \quad(\bmod 2) \Rightarrow n-m=2 k, k \in \mathbb{Z} \\ \Rightarrow n=m+2 k \end{gathered} $$

$\star \quad n \equiv m(\bmod 2)$

$$ \begin{aligned} (-1)^{n}= & (-1)^{m+2 k}=\left((-1)^{2}\right)^{k} \cdot(-1)^{m} \\ & =1 \cdot(-1)^{m}=(-1)^{m} \end{aligned} $$

因此，$f$ 是良定义的。

$f$ 是什么？

$$ \begin{aligned} \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} & \rightarrow\{[0],[1]\} \rightarrow\{ \pm 1\} \\ {[0] } & \rightarrow(-1)^{0}=1 \\ {[1] } & \rightarrow(-1)^{1}=-1 \end{aligned} $$

例子 1.13 (弧度制角)。让我们在 $\mathbb{R}$ 上定义一个等价关系，通过说明 $x \equiv y (\bmod 2 \pi)$ 当且仅当 $x-y$ 是 $2 \pi$ 的整数倍。

这是一个等价关系。

记法 1.14. 商集 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 记作 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$。

1. 4 周期函数

假设我要定义一个映射

$$ f: \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} $$

什么样的 $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 会给出这样的 $f$ 呢？这恰好在 $F$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数时成立。

例子：正弦，余弦。

$F$ 是周期函数意味着对于所有 $x \in \mathbb{R}$，有 $F(x)=F(x+2 \pi)$

命题 1.15. 函数 $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ 定义为 $F(x)=(\cos x, \sin x)$，它诱导一个从 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{R}^{2}$ 中单位圆的双射。

2探讨：

如何从 $X / \sim$ 生成一个到 $Y=X^{\prime} / \sim^{\prime}$ 的映射？

从 $F \circ \phi: X \rightarrow X^{\prime}$ 开始并检查：

$$ \forall x_{1}, x_{2} \in X: \quad x_{1} \sim x_{2} \Rightarrow F\left(x_{1}\right) \sim^{\prime} F\left(x_{2}\right) $$

⇒ 如何定义一个映射 $X / \sim \rightarrow X^{\prime} / \sim^{\prime}$？

这里会再次尝试 $F: X \times X \rightarrow X$，其性质是对于所有 $x_{1}, x_{2} \in X$，有 $y_{1} \sim y_{2} \Rightarrow F\left(x_{1}, y_{1}\right) \sim^{\prime} F\left(x_{2}, y_{2}\right)$。

1. 5 商集上的映射定义

定义 1.16. 令 $X=\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z} \backslash\{0\})$ 且 $\sim$ 如前所述以构造 $\mathbb{Q}$。那么：

$$ \begin{aligned} X \times X & \longrightarrow X \\ ((a, b),(c, d)) & \stackrel{ \pm}{\longrightarrow}(a \pm b c, b d) \\ ((a, b),(c, d)) & \longrightarrow(a c, b d) \end{aligned} $$

具有所需的性质并诱导映射 $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$，通常表示为 + 和 $\cdot$

证明. 将会是检查 $(a, b) \sim\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$ 和 $(c, d) \sim\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right) \Rightarrow(a d+b c, b d) \sim\left(a^{\prime} d^{\prime}+b^{\prime} c^{\prime}, b^{\prime} d^{\prime}\right)$，对于另一个也类似。

阅读 2.33 和 2.34。

注 1.17. 对于 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 我们仍然有加法：

$$ \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} \times \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} $$

但没有乘法！！！

$$ \begin{aligned} {\left[\frac{1}{2}\right] \cdot[0] } & =\left[\frac{1}{2} \cdot 0\right]=[0] \\ {\left[\frac{1}{2}\right] \cdot[2 \pi] } & =\left[\frac{1}{2} \cdot 2 \pi\right]=[\pi] \end{aligned} $$

32 $\S 3: \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$

2. 1 自然数

$\mathbb{N}$：概念：

(i) 从 $1 \in \mathbb{N}$ 开始。

(ii) 每个 $n \in \mathbb{N}$ 都有一个后继。

(iii) 概念：有一个后继函数 $S: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$。

皮亚诺公理：

(1) $S$ 是内射的：$S(n)=S(m) \Rightarrow n=m$

(2) 存在唯一的 $1 \in \mathbb{N}$，它不是任何其他 $n \in \mathbb{N}$ 的后继。

(3) 归纳原理：如果 $X \subseteq \mathbb{N}$ 使得 $1 \in X$ 且如果 $S(n) \in X$，那么 $X=\mathbb{N}$。

加法：你定义 $n+1=S(n)$。

通过归纳定义 $n+m$：如果 $m=S\left(m^{\prime}\right)$ 那么

$$ n+m=S\left(n+m^{\prime}\right) $$

乘法：类似地。

幂运算、阶乘、序也来自公理。

2. 2 良序原理

良序原理：令 $A$ 是 $\mathbb{N}$ 的一个非空子集。那么 $A$ 有一个最小元素，即一个元素 $a \in A$ 使得对于所有其他元素 $a'$，有 $a \leq a'$。

2. 3 复数

复数可以由实数构造。我们有数系的演进：

$$ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} $$

其中第一个箭头使用等价关系和戴德金切割（或柯西序列）。

定义 2.1 (复数)。一个复数的形式为

$$ z=a+b i, \quad a, b \in \mathbb{R} $$

其中 $a=\operatorname{Re}(z)$ 是实部，$b=\operatorname{Im}(z)$ 是虚部。我们可以将 $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^{2}$ 识别。

复数上有加法和乘法，这使得 $\mathbb{C}$ 成为一个域：

$$ \begin{aligned} z_{1}+z_{2} & =\left(a_{1}+a_{2}\right)+i\left(b_{1}+b_{2}\right) \\ z_{1} z_{2} & =a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) i \end{aligned} $$

那么 $\mathbb{C}$ 有 0 和 1，加法和乘法是交换的和结合的，分配律成立，并且每个非零复数都有乘法逆元。

2. 4 复共轭

定义 2.2. 如果 $z=a+b i$，那么复共轭是 $\bar{z}=a-b i$。

性质：

注意 $z \bar{z}=(a+b i)(a-b i)=a^{2}+b^{2}$ 总是非负实数。

定义 2.3. $|z|=\sqrt{z \bar{z}}$ 称为 $z$ 的绝对值、长度或模。

命题 2.4. $\left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\sqrt{z_{1} z_{2} \bar{z}_{1} \bar{z}_{2}}=\sqrt{z_{1} \bar{z}_{1}} \sqrt{z_{2} \bar{z}_{2}}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|$

命题 2.5 (三角不等式)。 $\left|z_{1}+z_{2}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$

2. 5 乘法逆元

如果 $z \neq 0$，那么我们可以找到乘法逆元：

$$ z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-b i)=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}} $$

我们可以验证：$z \cdot z^{-1}=z \cdot \frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=1$。

例子 2.6.

$$ \begin{aligned} 4^{-1} & =\frac{1}{4} \\ (30+20 i)^{-1} & =\frac{1}{1300}(30-20 i)=\frac{3}{130}-\frac{1}{65} i \end{aligned} $$

注 2.7. 非零复数的集合 $\mathbb{C}^{*}$ 在乘法下构成一个群。

2. 6 单位圆

定义 2.8. $U_{1}=\{z \in \mathbb{C}| | z \mid=1\}$ 是 $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^{2}$ 中的单位圆。

注 2.9. 由于 $U_{1}$ 中两个元素的乘积仍在 $U_{1}$ 中，并且 $z \in U_{1}$ 的逆元（即当 $|z|=1$ 时的 $z^{-1}=\bar{z}$）的长度也为 1，我们看到 $U_{1} \subseteq \mathbb{C}^{*}$ 是一个子群。

2. 7 极坐标

极坐标：

$$ z \in \mathbb{C}, z \neq 0 $$

$$ z=r(\cos \theta+i \sin \theta) $$

我们将把角 $\theta$ 视为 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 的一个元素（我们称之为 $z$ 的辐角）。

乘法：

$$ \begin{gathered} z_{1} z_{2}=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right) \cdot r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right) \\ =r_{1} r_{2}\left(\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}-\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}+\left(\cos \theta_{1} \sin \theta_{2}+\sin \theta_{1} \cos \theta_{2}\right) i\right) \\ =r_{1} r_{2}\left(\cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right) \end{gathered} $$

$z_{1} z_{2}$ 的极坐标是 $\left(r_{1} r_{2}, \theta_{1}+\theta_{2}\right)$。

2. 8 欧拉恒等式

例子 2.10. 考虑 $(1+i)^{2}$。使用标准乘法：$(1+i)^{2}=1+2 i+i^{2}= 1+2 i-1=2 i$。

使用极坐标：$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4} i\right)$，所以

$$ (1+i)^{2}=2\left(\cos \frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2} i\right)=2(0+i)=2 i $$

定义 2.11. 对于任何实数 $\lambda$，我们定义

$$ e^{i \lambda}=\cos \lambda+i \sin \lambda $$

更一般地，对于 $z=a+b i \in \mathbb{C}$，我们定义

$$ e^{z}=e^{a+b i}=e^{a} \cdot e^{b i}=e^{a}(\cos b+i \sin b) $$

2. 9 指数的事实

  1. 每个非零 $y \in \mathbb{C}$ 都可以写成 $e^{z}$ 对于某个 $z \in \mathbb{C}$。
  2. $e^{z_{1}} \cdot e^{z_{2}}=e^{z_{1}+z_{2}}$ （指数序列对于任何 $z$ 都是绝对收敛的）

欧拉恒等式：$e^{\pi i}+1=0$

命题 2.12. 令 $z$ 是一个非零复数。方程 $x^{n}=z$ 恰好有 $n$ 个解。

即，如果 $z=r e^{i \theta}$，那么解是

$$ x=r^{1 / n} e^{i(\theta / n+2 \pi k / n)}, \quad k=0,1, \ldots, n-1 $$

证明梗概。我们需要 $x^{n}=z$。如果 $x=s e^{i \phi}$，那么 $x^{n}=s^{n} e^{i n \phi}$。为了使其等于 $r e^{i \theta}$，我们需要 $s^{n}=r$（因此 $s=r^{1 / n}$）并且 $n \phi=\theta+2 \pi k$ 对于某个整数 $k$。

因此 $\phi=\frac{\theta+2 \pi k}{n}$。两个值 $k$ 和 $\ell$ 模 $2 \pi$ 给出相同的 $\phi$ 当且仅当 $k \equiv \ell(\bmod n)$，这给了我们恰好 $n$ 个不同的解。

例子 2.13. 找到 $z=1+\sqrt{3} i$ 的 5 次根。

首先，转换为极坐标形式：$z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+\sin \frac{\pi}{3} i\right)=2 e^{i \pi / 3}$。

5 次根是：

$$ 2^{1 / 5} e^{i(\pi / 15+2 \pi k / 5)}, \quad k=0,1,2,3,4 $$

即：

$$ 2^{1 / 5} e^{i \pi / 15}, \quad 2^{1 / 5} e^{i(7 \pi / 15)}, \quad 2^{1 / 5} e^{i(13 \pi / 15)}, \quad 2^{1 / 5} e^{i(19 \pi / 15)}, \quad 2^{1 / 5} e^{i(25 \pi / 15)} $$

定义 2.14. 对于 $n \geq 1$，我们定义

$$ U_{n}=\left\{q \in \mathbb{C} \mid q^{n}=1\right\} \subseteq U_{1} \subseteq \mathbb{C}^{*} $$

即 $n$ 次单位根的群。

根据我们之前的命题：

$$ U_{n}=\left\{e^{2 \pi i k / n}: k=0,1, \ldots, n-1\right\} $$

或等价地

$$ U_{n}=\left\{\cos \left(\frac{2 \pi k}{n}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi k}{n}\right): k=0,1, \ldots, n-1\right\} $$

注 2.15. $U_{n}$ 是 $U_{1}$ 的一个子群。确实，如果 $\xi, \eta \in U_{n}$，那么 $(\xi \eta)^{n}=\xi^{n} \eta^{n}=1 \cdot 1=1$，所以 $\xi \eta \in U_{n}$。此外，如果 $\xi^{n}=1$，那么 $\left(\xi^{-1}\right)^{n}=\left(\xi^{n}\right)^{-1}=1$，所以 $\xi^{-1} \in U_{n}$。

2. 10 根的计算

将 $\sin (5 \theta)$ 表示为 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的多项式？

$$ \begin{gathered} e^{5 \theta i}=\cos (5 \theta)+i \sin (5 \theta) \\ \| \\ \left(e^{\theta i}\right)^{5}=(\cos \theta+\sin \theta i)^{5} \\ =\cos ^{5} \theta+5 \cos ^{4} \theta \sin \theta i-10 \cos ^{3} \theta \sin ^{2} \theta-\ldots \end{gathered} $$

$$ \begin{gathered} +10(\cos \theta)^{2} \sin ^{3} \theta i^{3}+\ldots \\ +\sin ^{5} \theta i^{5}+\ldots \\ \sin (5 \theta)=5 \cos ^{4} \theta \sin \theta-10 \cos ^{2} \theta \sin ^{3} \theta+\sin ^{5} \theta \end{gathered} $$